Вариант 1 •1. Решите неравенство: a) 2x²- 7x - 9 < 0; 6) x² > 49; в) 4x2 - x + 1 > 0. •2. Решите неравенство, используя метод интервалов: (x + 3) (x - 4) (x – 6) < 0. 3. При каких значениях т уравнение 3x² + mx + + 12 = 0 имеет два корня? 4. Решите неравенство: a) 5x+1 <0; б) 3x-1 ≥ 2. x-2 x+8 5. Найдите область определения функции: a) y = 6x-2x²; x²-4x-12 б) у = 2x-18 в) у = 16-x² + √7-5x.

Решение заданий варианта 1.

1. Решите неравенство:

a) $$2x^2 - 7x - 9 < 0$$

1. Найдем корни квадратного уравнения $$2x^2 - 7x - 9 = 0$$


2. Вычислим дискриминант: $$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121$$


3. Найдем корни: $$x_1 = \frac{7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 11}{4} = \frac{18}{4} = 4.5$$ и $$x_2 = \frac{7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 11}{4} = \frac{-4}{4} = -1$$


4. Неравенство можно переписать как $$2(x - 4.5)(x + 1) < 0$$.


5. Решением данного неравенства является интервал между корнями, то есть $$-1 < x < 4.5$$

Ответ: $$-1 < x < 4.5$$

б) $$x^2 > 49$$

1. Преобразуем неравенство: $$x^2 - 49 > 0$$


2. Разложим на множители: $$(x - 7)(x + 7) > 0$$


3. Корни уравнения: $$x_1 = 7, x_2 = -7$$


4. Решением неравенства будут интервалы: $$x < -7$$ или $$x > 7$$

Ответ: $$x < -7$$ или $$x > 7$$

в) $$4x^2 - x + 1 > 0$$

1. Найдем дискриминант квадратного уравнения $$4x^2 - x + 1 = 0$$


2. $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 1 - 16 = -15$$


3. Так как дискриминант отрицательный, а коэффициент при $$x^2$$ положителен, то неравенство выполняется для всех $$x$$

Ответ: $$x \in (-\infty, +\infty)$$

2. Решите неравенство, используя метод интервалов: $$(x + 3)(x - 4)(x - 6) < 0$$

1. Найдем корни уравнения $$(x + 3)(x - 4)(x - 6) = 0$$: $$x_1 = -3, x_2 = 4, x_3 = 6$$


2. Отметим корни на числовой прямой и определим знаки на интервалах:


3. Интервалы: $$(-\infty, -3), (-3, 4), (4, 6), (6, +\infty)$$


4. Знаки: $$-, +, -, +$$


5. Решением неравенства являются интервалы, где знак минус: $$x < -3$$ или $$4 < x < 6$$

Ответ: $$x < -3$$ или $$4 < x < 6$$

3. При каких значениях m уравнение $$3x^2 + mx + 12 = 0$$ имеет два корня?

1. Для того чтобы квадратное уравнение имело два корня, его дискриминант должен быть больше нуля: $$D > 0$$


2. Вычислим дискриминант: $$D = m^2 - 4 \cdot 3 \cdot 12 = m^2 - 144$$


3. Решим неравенство $$m^2 - 144 > 0$$


4. Разложим на множители: $$(m - 12)(m + 12) > 0$$


5. Решением неравенства являются интервалы: $$m < -12$$ или $$m > 12$$

Ответ: $$m < -12$$ или $$m > 12$$

4. Решите неравенство:

a) $$\frac{5x + 1}{x - 2} < 0$$

1. Найдем нули числителя: $$5x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{5}$$


2. Найдем нули знаменателя: $$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$$


3. Отметим значения на числовой прямой и определим знаки на интервалах:


4. Интервалы: $$(-\infty, -\frac{1}{5}), (-\frac{1}{5}, 2), (2, +\infty)$$


5. Знаки: $$+, -, +$$


6. Решением неравенства является интервал, где знак минус: $$\frac{-1}{5} < x < 2$$

Ответ: $$\frac{-1}{5} < x < 2$$

б) $$\frac{3x - 1}{x + 8} \ge 2$$

1. Преобразуем неравенство: $$\frac{3x - 1}{x + 8} - 2 \ge 0$$


2. Приведем к общему знаменателю: $$\frac{3x - 1 - 2(x + 8)}{x + 8} \ge 0$$


3. Упростим: $$\frac{3x - 1 - 2x - 16}{x + 8} \ge 0 \Rightarrow \frac{x - 17}{x + 8} \ge 0$$


4. Найдем нули числителя: $$x - 17 = 0 \Rightarrow x = 17$$


5. Найдем нули знаменателя: $$x + 8 = 0 \Rightarrow x = -8$$


6. Отметим значения на числовой прямой и определим знаки на интервалах:


7. Интервалы: $$(-\infty, -8), (-8, 17], [17, +\infty)$$


8. Знаки: $$+, -, +$$


9. Решением неравенства являются интервалы, где знак плюс: $$x < -8$$ или $$x \(\ge\) 17$$

Ответ: $$x < -8$$ или $$x \(\ge\) 17$$

5. Найдите область определения функции:

a) $$y = \(\sqrt{6x - 2x^2}\)$$

1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $$6x - 2x^2 \(\ge\) 0$$


2. $$2x(3 - x) \(\ge\) 0$$


3. Найдем нули: $$x_1 = 0, x_2 = 3$$


4. Определим знаки на интервалах: $$\(-\infty, 0], [0, 3], [3, +\infty\)$$


5. Знаки: $$-, +, -$$


6. Область определения: $$0 \(\le\) x \(\le\) 3$$

Ответ: $$0 \(\le\) x \(\le\) 3$$

б) $$y = \(\frac{\sqrt{x^2 - 4x - 12}}{2x - 18}\)$$

1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $$x^2 - 4x - 12 \(\ge\) 0$$


2. Разложим на множители: $$(x - 6)(x + 2) \(\ge\) 0$$


3. Найдем нули: $$x_1 = -2, x_2 = 6$$


4. Определим знаки на интервалах: $$\(-\infty, -2], [-2, 6], [6, +\infty\)$$


5. Знаки: $$+, -, +$$


6. Решением является $$x \le -2$$ или $$x \ge 6$$


7. Знаменатель не должен равняться нулю: $$2x - 18
   e 0 \Rightarrow x
   e 9$$


8. С учетом этого, область определения: $$x \le -2$$ или $$6 \le x < 9$$ или $$x > 9$$

Ответ: $$x \le -2$$ или $$6 \le x < 9$$ или $$x > 9$$

в) $$y = \sqrt{16 - x^2} + \sqrt{7 - 5x}$$

1. $$16 - x^2 \ge 0$$ $$\Rightarrow$$ $$(4 - x)(4 + x) \ge 0 \Rightarrow -4 \le x \le 4$$


2. $$7 - 5x \ge 0$$ $$\Rightarrow$$ $$5x \le 7$$ $$\Rightarrow$$ $$x \le \frac{7}{5} = 1.4$$


3. Пересечение этих условий: $$-4 \le x \le 1.4$$

Ответ: $$-4 \le x \le 1.4$$